Définition :
Un \(A\)-module \(M\) est dit noéthérien si et seulement s'il vérifie l'une de ces trois conditions équivalentes : $$\begin{align}&{{\text{tout suite croissante de sous-modules de }M\text{ stationne} }}\\ \iff&{{\text{toute famille non vide de ses sous-modules admet un élém max} }}\\ \iff&{{\text{tout sous-module de }M\text{ est de type fini} }}\end{align}$$
Anneau noéthérien
Définition :
L'anneau \(A\) est dit noéthérien si et seulement si le \(A\)-module \(A\) est noéthérien
Propriétés
Caractérisation dans un anneau
Proposition :
Soit \(A\) un anneau
On a les équivalences : $$\begin{align}&{{A\text{ est noéthérien} }}\\ \iff&{{\text{toute suite croissante d}^\prime\text{idéaux stationne} }}\\ \iff&{{\text{toute famille non vide d}^\prime\text{idéaux admet un élém max} }}\\ \iff&{{\text{tout idéal est engendré par un nombre fini d}^\prime\text{éléms} }}\end{align}$$
Module noéthérien dans une suite exacte
Proposition :
On considère la suite exacte de modules : $$0\to M_1\to M_2\to M_3\to 0$$ alors on a : $${{M_2\text{ néothérien} }}\iff{{ M_1\text{ et }M_3\text{ néothériens} }}$$
Conséquence du caractère néothérien d'un anneau sur ses modules
Proposition :
Soit \(A\) un anneau néothérien et \(M\) un \(A\)-module
Alors $${{ M\text{ néothérien } }}\iff{{ M\text{ est de type fini sur }A}}$$
Propriétés de stabilité
propriétés de stabilité :
$${{A\text{ néothérien } }}\implies{{ A/I\text{ et }A[X]\text{ néothériens } }}$$
[!Warning]
En général, un sous-anneau d'un anneau néothérien n'est pas néothérien.
